# 3.2 Модель позиционирования

Модель позиционирования описывает положение и ориентацию беспилотного летательного аппарата в трёхмерном пространстве. Класс `Position` (файл `position.py`) инкапсулирует все параметры состояния БПЛА и операции над ними.

\section{Параметры позиции}

Позиция БПЛА характеризуется следующими параметрами:

\begin{itemize}
    \item $x$, $y$ — координаты в горизонтальной плоскости (пиксели карты)
    \item $z$ — масштаб изображения (уровень приближения)
    \item $yaw$ — угол рыскания (поворот вокруг вертикальной оси)
    \item $pitch$ — угол тангажа (поворот вокруг поперечной оси)
    \item $roll$ — угол крена (поворот вокруг продольной оси)
\end{itemize}

\section{Матрица гомографии}

Матрица гомографии связывает координаты точек на двух изображениях одной и той же плоскости. Для БПЛА гомография описывает преобразование между последовательными кадрами видеопоследовательности.

Матрица гомографии вычисляется как:

\begin{equation}
    H = K_{out} \cdot R \cdot T \cdot K_{in}^{-1}
\end{equation}

где $K_{in}$ и $K_{out}$ — матрицы внутренних параметров камеры, $R$ — матрица вращения, $T$ — матрица трансляции.

\section{Матрица вращения}

Матрица вращения представляет собой комбинацию поворотов вокруг трёх осей:

\begin{equation}
    R = R_x(roll) \cdot R_y(pitch) \cdot R_z(yaw)
\end{equation}

Элементарные матрицы поворота имеют вид:

\begin{equation}
    R_x(\gamma) = \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 0 \\
        0 & \cos\gamma & -\sin\gamma \\
        0 & \sin\gamma & \cos\gamma
    \end{pmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
    R_y(\theta) = \begin{pmatrix}
        \cos\theta & 0 & \sin\theta \\
        0 & 1 & 0 \\
        -\sin\theta & 0 & \cos\theta
    \end{pmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
    R_z(\psi) = \begin{pmatrix}
        \cos\psi & -\sin\psi & 0 \\
        \sin\psi & \cos\psi & 0 \\
        0 & 0 & 1
    \end{pmatrix}
\end{equation}

\section{Применение гомографии к позиции}

Метод `iapply` позволяет обновить позицию БПЛА на основе найденной матрицы гомографии. Алгоритм включает:

\begin{enumerate}
    \item Декомпозицию гомографии на компоненты $R$ и $t$
    \item Вычисление оптимальной трансформации
    \item Обновление координат и углов ориентации
\end{enumerate}

Трансформация координат выполняется с учётом фокусного расстояния камеры:

\begin{equation}
    x_{new} = x_{old} - T_x \cdot K_{focus}
\end{equation}
\begin{equation}
    y_{new} = y_{old} + T_y \cdot K_{focus}
\end{equation}

\section{Операции над позицией}

Класс `Position` поддерживает арифметические операции:

\begin{itemize}
    \item Умножение на скаляр — масштабирование координат
    \item Деление на скаляр — обратное масштабирование
    \item Копирование — создание полной копии состояния
\end{itemize}

Эти операции используются при интерполяции траекторий и преобразовании координат.